MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 1 VT 2004

Räkneövning 2

1. Definiera en följd av matriser {A_{n}}_{n=1}^{∞} genom rekursionsformeln A_{n+1} = A_{n}^{2} − nB där

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) och B = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Gissa en formel för A_{n} (som funktion av n) och visa att gissningen är riktig med hjälp av induktion.

2. Antag att A är en 3 × 3-matris och att matrisen A^{2} avbildar tre lineärt oberoende vektorer u, v, w på lineärt oberoende vektorer u′, v′, w′. Visa att de två systemen (u, v, w) och (u′, v′, w′) har samma orientering.

3. Låt e_{1}, e_{2}, e_{3} vara en ON-bas i R^{3}. Beräkna följande vektorprodukter (varje produkt innehåller 60 faktorer):

v_{1} = ((… (e_{1} × e_{2}) × e_{3}) × e_{1}) × e_{2}) × e_{3}) × ⋯ × e_{1}) × e_{2}) × e_{3})

v_{2} = ((… (e_{1} × e_{2}) × e_{1}) × e_{2}) × e_{1}) × e_{2}) × ⋯ × e_{2}) × e_{1}) × e_{2})

v_{3} = ((… (e_{1} × e_{2}) × e_{2}) × e_{2}) × e_{2}) × e_{2}) × ⋯ × e_{2}) × e_{2}) × e_{2})

4. För vilka x har matrisen

A = ( \begin{matrix}1 − x & 1 & 0 \\ 0 & 1 − x & 0 \\ 0 & 3 & 3 − x \end{matrix} )

en invers?

5. Låt A, B, C, och D vara godtyckliga punkter i planet. Bevisa att

\overline{AB} · \overline{CD} + \overline{BC} · \overline{AD} + \overline{CA} · \overline{BD} = 0.

6. Två av de tre linjerna L_{1}, L_{2} och L_{3}, givna på parameterform av (x, y, z) = (2+t, 1−t, 3+2t), (x, y, x) = (−1, 4, −2) + t(2, 0, 1), respektive x = 6 + t ∧ y = 6 + 2t ∧ z = 4 + 3t, skär varandra. Läs igenom ovanstående, och övertyga dig om att du förstår meningen! Bestäm denna skärningspunkt, och beräkna dess avstånd till planet 3x − 4y + 12z + 2 = 0.

7. Bestäm på formen Ax + By + Cz + D = 0 (”normalform”) ekvationen för det plan, som innehåller punkten (1, 0, 2) och linjen (x, y, z) = (2, 1, −1) + t(1, 3, −1).

8. Bestäm ekvationen (i normalform) för ett plan som är parallellt med planet

2x + 3y + z − 10 = 0

och innehåller skärningspunkten mellan linjerna

\{ \begin{matrix}x & = & 6 + 2t \\ y & = & 5 − t \\ z & = & −1 + 3t \end{matrix} och \{ \begin{matrix}x & = & 1 − s \\ y & = & 9 + s \\ z & = & −1 + s \end{matrix} .

/(Martin Tamm HT03); Jörgen Backelin VT04