MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 1 VT 2004

Räkneövning 1

1. Visa genom induktion att för alla n ≥ 0 gäller ∑_{k=0}^{n} k^{4} = \frac{6n^{5} + 15n^{4} + 10n^{3} − n}{30}.

2. Bevisa att 1 · 2 · 3 ⋯ (n − 1) < (\frac{n}{2})^{n−1} för n = 3, 4, 5, . . ..

3. Talföljden (a_{n})_{n=1}^{∞} definieras rekursivt genom

\{ \begin{matrix}a_{1} & = & 4 \\ a_{n} & = & 2a_{n−1} − n + 1 , n ≥ 1. \end{matrix}

Visa att a_{n} = 2^{n} + n + 1 för alla naturliga tal n ≥ 1.

4. Bestäm koefficienten för a^{5} i utvecklingen av (2a − \frac{1}{a^{2}} )^{11}. Svaret skall ges i uträknad form.

5. Undersök för alla värden på a och b huruvida ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}x & + & ay & +bz & = & 3 \\ x & + & y & +az & = & 2 \\ ax & + & ay & & = & b \end{matrix}

har precis en lösning, ingen lösning alls eller oändligt många lösningar.

6. Lös för varje värde på a ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}x + & y + & (a + 1)z = & 1 \\ 6x + & (−14)y + & (6a + 2)z = & −6 \\ 2ax + & 3y + & z = & 2a + 3 \\ (4a − 1)x + & (14 − 6a)y + & (−10a − 5)z = & 4a + 14 \end{matrix}

Ange speciellt för vilka värden på a som systemet har ingen, en eller flera lösningar.

7. Låt A och B vara symmetriska matriser och antag dessutom att A är inverterbar. Avgör för var och en av matriserna AB, AB − BA och A^{−1} huruvida den måste vara symmetrisk.

8. Finns det någon 2 × 2 matris X som uppfyller ekvationerna X^{2} = E och (X + E)^{7} = X? /(Martin Tamm 031105); Jörgen Backelin 040402