Uppgifter till lektionsomgång 5.

1. Ge en ekvation på normalform för planet genom linjen \{ \begin{matrix}x + y + z = 2 \\ 2x − y + z = 1 \end{matrix} och punkten (2, 2, 1).

2. Ge ekvationer på parameterform:

a) för linnjen 2x − y = 3;
b) för planet x + 2y = 4.

3. Planen Π_{1}, Π_{2}, Π_{3} och Π_{4} ges av ekvationerna 2x + y + z = 2, x − 3y − z = 9, 3x + 2y − z = 5 respektive x + 4y + z = 1. Planen Π_{1}, Π_{2} och Π_{3} skär varandra i en punkt A, och planen Π_{1}, Π_{2} och Π_{4} skär varandra i en annan punkt B. Bestäm på parameterform en ekvation för linjen genom A och B. Ledning: Svettas inte mer än nödvändigt! Tänk först och räkna sedan!

4. Bestäm avståndet^{1} mellan punkten (3, 4, −7) och det plan som går genom punkten (1, 0, 0) och linjen (2, t, 2t).

5. Låt A vara matrisen för en vridning \frac{π}{4} runt y-axeln. Beräkna (på enklaste sätt!) A^{300}.

6. Bestäm avbildningsmatrisen för (den vinkelräta) projektionen på planet x + 3y + 2z = 0.

1 Kom ihåg att”avstånd” alltid är detsamma som ”kortaste avstånd”, om annat ej specificeras!