Uppgifter till lektionsomgång 4.

1. ee = (e_{1} e_{2}) är en bas för ett plan, och f_{1} och f_{2} är två vektorer i planet, som uppfyller att f_{1} = 2e_{1} + 3e_{2} och att e_{1} = 8f_{1} − 3f2. Visa att ff = (f_{1} f_{2}) också är en bas för planet, och ange basbytet på matrisform. Du skall alltså bestämma två matriser A och B som uppfyller att ff = eeA och ee = ffB.

2. Vektorerna u och v har koordinaterna (2, 3, 1) respektive (3, 1, −2) med avseende på en ONbas ee. Beräkna längderna av u och v, och räkna också ut u · v. Kan du använda detta för att bestämma vinkeln θ mellan u och v? Ledning: u · v = |u||v| cos θ.

3. En viss bas ee = (e_{1}, e_{2}) i planet uppfyller följande:

e_{1} · e_{1} = 2 ;  e_{1} · e_{2} = −5 ;  e_{2} · e_{2} = 3 .

Vektorerna u och v har koordinaterna (2, 1) respektive (1, −2) med avseende på basen ee. Är basen ee en ON-bas eller inte? (Motivera ditt svar.) Är u och v ortogonala mot varandra eller inte? (Motivera ditt svar.) Beräkna u · v.

4. Låt ee = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) vara en ON-bas för rummet, och antag att vektorerna v_{1}, v_{2} och v_{3} har koordinaterna (\frac{12}{13}, \frac{3}{13}, \frac{−4}{13}), (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) respektive (0, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}). Visa att alla tre vektorerna är ”normerade”, d. v. s. av enhetslängd, men att bara två av dem är ortogonala mot varandra. Vilka? Undersök om vinklarna mot den tredje vektorn är spetsiga eller trubbiga. Avgör slutligen huruvida (v_{1}, v_{2}, v_{3}) utgör en ON-bas för rummet eller inte. (Motivera ditt svar mycket kortfattat.)

5. Ge ett exempel på tre vektorer u, v och w, som är sådana att (u · v)w ≠ u(v · w).

6. Beräkna arean av den triangel som har hörn i punkterna (1, 0, 1), (2, 1, 1) och (0, 3, 4). (Punkternas koordinater är givna med avseende på ett ON-system.)