Uppgifter till lektionsomgång 2.

1. Följden a_{0}, a_{1}, a_{2}, … ges rekursivt av

\{ \begin{matrix}a_{0} = 4 \\ a_{n} = 2a_{n−1} − 3, & n ≥ 1. \end{matrix}

Använd denna definition för att beräkna a_{n} för n ≤ 5 (och om du behöver, några värden till). Använd sedan dessa värden för att gissa ett uttryck på sluten form för a_{n}. Visa slutligen medelst induktion att din gissning stämmer för alla n ∈ ℕ.

2. Vad är z^{4}-termen i utvecklingen av uttrycket (\frac{9z^{5}}{8} − \frac{2}{3z^{2}} )^{12} ?

3. Lös följande ekvationssystem: \{ \begin{matrix}y_{1} & +2y_{2} & +y_{3} & +3y_{4} & = & 10 \\ 2y_{1} & +5y_{2} & +3y_{3} & +y_{4} & = & 9 \\ 3y_{1} & +7y_{2} & +5y_{3} & +4y_{4} & = & 21 \\ 2y_{1} & −y_{2} & & +5y_{4} & = & 7 \end{matrix} .

Anmärkning: Som vanligt betyder ”lös” detsamma som ”lös fullständigt” eller ”finn alla lösningar till” (men grundmängden är ℝ, där ej annat anges).

4. Bestäm för varje värde på konstanten a alla lösningar till ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}x & +y & +z & = & 0 \\ 3x & +ay & +6z & = & 3 \\ 2x & +y & +(a + 3)z & = & 1 \end{matrix} .

5. Antag att \{ \begin{matrix}x_{1} & = & λ_{1} \\ x_{2} & = & λ_{2} \\ x_{3} & = & λ_{3} \\ x_{4} & = & λ_{4} \\ x_{5} & = & λ_{5} \end{matrix} är en lösning till systemet

\{ \begin{matrix}23x_{1} & + & 16x_{2} & − & 39x_{3} & & & + & πx_{5} & = & 2 \\ \sqrt{17}x_{1} & + & 0,01x_{2} & + & 12x_{3} & − & 2e^{7}x_{4} & & & = & 1 \\ 117x_{1} & − & 56x_{2} & − & (ln 64)x_{3} & − & 7x_{4} & + & 28x_{5} & = & 3 \end{matrix} .

Beräkna i så fall matrisprodukten (λ_{1} λ_{2} λ_{3} λ_{4} λ_{5}) ( \begin{matrix}23 & 117 & \sqrt{17} \\ 16 & −56 & 0,01 \\ −39 & −6 ln 2 & 12 \\ 0 & −7 & −2e^{7} \\ π & 28 & 0 \end{matrix} ).

Ledning: Om du känner dig väldigt undersysselsatt, så kan du börja med att lösa ekvationssystemet. Annars kan det löna sig att försöka hitta en betydligt enklare lösning.

6. Vi definierar spåret av en 2 × 2-matris A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) som diagonalsumman a_{11} + a_{22}. Visa

att om spåret för en 2 × 2-matris B är 0, så är B^{2} = μE för något tal μ (där E = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ),

som vanligt).