Uppgifter till lektionsomgång 1.

1. Gissa uttryck på sluten form för a_{0}, a_{1}, a_{2}, … dels för följden 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, …, dels för följden 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, . . ..

2. Följden b_{0}, b_{1}, b_{2}, … ges rekursivt av

\{ \begin{matrix}b_{0} = 0 \\ b_{1} = 1 \\ b_{n} = 5b_{n−1} − 6b_{n−2}, & n ≥ 2. \end{matrix}

Visa att b_{n} = 3^{n} − 2^{n} (n ∈ ℕ).

3. Följden c_{0}, c_{1}, c_{2}, … ges rekursivt av

\{ \begin{matrix}c_{0} = 1 \\ c_{n} = \sqrt{1 + c_{n−1}}, & n ≥ 1. \end{matrix}

Visa att 1 ≤ c_{n} ≤ 2 (n ∈ ℕ).

4. Visa att

\binom{n}{0} − \binom{n}{1} + \binom{n}{2} − … − (−1)^{n}\binom{n}{n} = 0

för n = 1, 2, 3, . . ..