MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Erik Svensson

Linjär algebra 1

Extra övningar till kursen Linjär algebra 1

1. Visa att ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}(2n^{3} + 3n^{2} + n) för alla n ∈ Z_{+}.

2. Visa att ∑_{k=1}^{n}(k + 1)(k + 5) = \frac{n}{6}(2n + 7)(n + 7) för alla n ∈ Z_{+}.

3. Visa att 1^{3} + 2^{3} + … + n^{3} = (1 + 2 + … + n)^{2} för alla n ∈ Z_{+}.

4. Visa att ∑_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2 − \frac{n + 2}{2^{n}} för alla n ∈ Z_{+}.

5. Visa att ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + 2 + … + k} = \frac{2n}{n + 1} för alla n ∈ Z_{+}.

6. Visa att 2^{n} > n^{3} för alla heltal n ≥ 10.

7. Visa att ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n} för alla n ∈ Z_{+}.

8. Visa att \frac{1}{2} · \frac{3}{4} · \frac{5}{6} · . . . · \frac{2n − 1}{2n} ≤ \frac{1}{\sqrt{3n + 1}} för alla n ∈ Z_{+}.

9. Antag att a_{0} = 1 och att a_{n} = \frac{a_{n−1}}{1 + a_{n−1}} för n = 1, 2, 3, …. Gissa en formel för a_{n} som gäller för alla

n ∈ N och visa sedan att gissningen är riktig.

10. Antag att a_{1} = 3, a_{2} = 5 och att a_{n+1} = 3a_{n} − 2a_{n−1} för n = 2, 3, 4, …. Gissa en formel för a_{n} som gäller för alla n ∈ Z_{+} och visa sedan att gissningen är riktig.

11. Antag att a_{1} = 2 och att a_{n+1} = \sqrt{6 + a_{n}} för alla n ∈ Z_{+}. Visa att a_{n} < 3 och att a_{n+1} > a_{n} för alla n ∈ Z_{+}. Åskådliggör också talföljden grafiskt på sedvanligt sätt.

12. Antag att a_{0} = 0, a_{1} = 1 och att a_{n} = a_{n−1} + a_{n−2} för n = 2, 3, 4, …. Visa att det finns tal α och β

sådana att a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}(α^{n} − β^{n}) för alla n ∈ N. Vilka är dessa tal α och β?

13. Bestäm för varje värde på konstanten a alla lösningar till ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}x & + & y & + & z & = & 1 \\ 2x & + & ay & − & z & = & 1 \\ ax & + & 2y & + & (a + 3)z & = & 2 & . \end{matrix}

14. Bestäm för varje värde på konstanten a alla lösningar till ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}x & + & y & + & az & = & 1 \\ x & + & ay & + & z & = & a \\ ax & + & y & + & z & = & a^{2} & . \end{matrix}

15. Bestäm för varje värde på konstanten a alla lösningar till ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}x & + & 2y & − & 3z & = & 3 \\ a^{2}x & + & (2a + 4)y & − & (3a + 6)z & = & 3a + 6 \\ x & + & ay & − & 3z & = & 5 − a & . \end{matrix}

16. Bestäm för varje värde på konstanten a alla lösningar till ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}ax & + & y & + & az & = & 2 \\ x & + & ay & + & z & = & 2 \\ x & & & + & az & = & 1 & . \end{matrix}

17. Bestäm för varje värde på konstanten a alla lösningar till ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}ax & + & y & + & 2z & = & 1 \\ x & + & ay & + & 2z & = & a \\ 2x & + & ay & + & z & = & 2a & . \end{matrix}

18. Visa med vektorräkning att medianerna i en triangel skär varandra i en punkt, och att den gemensamma skärningspunkten delar medianerna i förhållandet 2 : 1 räknat från triangelhörnen.

19. Visa med vektorräkning att bisektrisen till en triangelvinkel delar motstående triangelsida i samma förhållande som förhållandet mellan de båda övriga triangelsidorna

Svar till extra övningar

12. α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} , β = \frac{1 − \sqrt{5}}{2}

13. a ≠ 1: lösning saknas.

a = 1: (x, y, z) = (2t, 1 − 3t, t), t ∈ R.

14. a ∉ \{−2, 1\}: (x, y, z) = ( \frac{a^{2} + 2a + 1}{a + 2} , \frac{1}{a + 2} , − \frac{a + 1}{a + 2} ).

a = −2: lösning saknas.

a = 1: (x, y, z) = (1 − s − t, s, t), s, t ∈ R.

15. a ∉ \{−1, 2\}: (x, y, z) = (0, −1, − \frac{5}{3} ).

a = −1: (x, y, z) = (5 + 3t, −1, t), t ∈ R. a = 2: (x, y, z) = (3 − 2s + 3t, s, t), s, t ∈ R.

16. a ∉ \{−1, 1\}: (x, y, z) = ( \frac{1}{a + 1} , \frac{2}{a + 2} , \frac{1}{a + 1} ).

a = −1: lösning saknas.

a = 1: (x, y, z) = (1 − t, 1, t), t ∈ R.

17. a ∉ \{−3, 1\}: (x, y, z) = ( \frac{2a}{a + 3} , \frac{3a + 3}{a + 3} , − \frac{a^{2} + a}{a + 3} ).

a = −3: lösning saknas.

a = 1: (x, y, z) = (1 + t, −3t, t), t ∈ R.