MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET

Avd. Matematik Examinator: Jörgen Backelin Tentamensskrivning i Linjär algebra 1, gk, 5 poäng tisdagen den 18 maj 2004

Inga hjälpmedel utöver vanliga skrivverktyg.

1. Bestäm (kortaste) avståndet från punkten (1, 3, 3) till den räta linjen genom punkterna (1, 0, 0) och (5, 2, 4). Koordinatsystemet är ett ON-system. 4 p

2. Avgör om matrisen

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \end{matrix} )

har invers, och beräkna inversen om den existerar. 4 p

3. Ange två stycken 2×2–matriser med egenskaperna att AB = 0 men BA ≠ 0. (Matriserna skall vara explicita, d. v. s. du skall skriva upp dem med riktiga konkreta tal som element (poster).) 3 p

4. Lös för varje reellt tal a och varje reellt tal b ekvationssystemet

\{ \begin{matrix}x & + & 2y & + & 3z & = & 2 \\ 2x & + & 3y & + & az & = & 4 \\ 3x & + & 5y & + & (2a + 3)z & = & 6 + b \end{matrix}  4 p

5. Planet Π ges av ekvationen 2x + y − z = 0, och punkterna A och B har koordinaterna (4, 3, 7) respektive (10, 7, 9), med avseende på en ON-bas. A′ är spegelbilden till A och B′ är spegelbilden till B, vid spegling (reflektion) i Π. θ är vinkeln mellan vektorerna \overline{AA′} och \overline{A′B′}, och ϕ är vinkeln mellan \overline{AB} och \overline{BB′}. Beräkna θ + ϕ. Ledning: Svettas inte mer än nödvändigt! Tänk igenom geometrien i situationen, innan du (eventuellt) börjar räkna! 4 p

6. Låt T vara den lineära avbildning av planet på sig själv, där man får T (v) från vektorn v genom att först projicera vektorn 2v vinkelrätt på x-axeln, och sedan vrida resultatet vinkeln \frac{π}{3} i positiv led.

a) Bestäm avbildningsmatrisen till T. (Positivt orienterat ON-system.)  3 p
b) Visa att T^{n+1} = T^{n} för alla positiva naturliga tal n.  2 p

Återlämning måndagen 24 maj 14^{30}–15^{00} i sal 15; därefter hos Tom Wollecki på vanlig kontorstid.

12 poäng (ink. ev. bonuspoäng förvärvade under vårterminen 2004) garanterar godkänt.