MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2, fk HT 01

Rad- och kolonnrum. Inverterbara matriser.

Låt oss börja med att gå igenom några allmänna fakta om linjärt beroende och baser, som man ofta använder utan motivering.

0. Om V = {¯0}, så gäller att dim(V) = 0.

Vi säger per definition att den tomma mängden är en bas för V, dvs den tomma mängden säges spänna {¯0} och den tomma mängden är linjärt oberoende. Observera att ¯0 är linjärt beroende (ty 1 · ¯0 = ¯0).

1. Om V = [v_{1}, …, v_{n}] så finns en bas för V, vars element utgör en delmängd av {v_{1}, …, v_{n}}.

Detta motiveras före Definition 3 i boken och påpekas också före Sats 3.

2. Om V = [v_{1}, …, v_{n}] och dim(V) = n, så är (v_{1}, …, v_{n}) en bas för V.

Detta är sant, ty enligt 1. finns en delmängd av {v_{1}, …, v_{n}} som är en bas, men enligt Sats 2 kan denna delmängd inte vara en äkta delmängd.

3. Om (v_{1}, …, v_{n}) är linjärt oberoende vektorer i V och dim(V) = n, så är (v_{1}, …, v_{n}) en bas för V.

Enligt Sats 3 kan (v_{1}, …, v_{n}) utvidgas till en bas för V, men återigen enligt Sats 2 så kan denna utvidgning inte vara äkta.

4. Om U är ett delrum till V, så gäller dim(U) ≤ dim(V).

Detta följer direkt av Sats 3 om U ovh V är ändligtdimensionella. Påståendet är trivialt om dim(V) = ∞. Antag att dim(V) = n < ∞. Vi skall visa att även dim(U) < ∞. Om U = {¯0}, så gäller dim(U) = 0 < ∞. Antag att U ≠ {¯0}. Tag en vektor u_{1} ≠ ¯0 i U. Om U = [u_{1}], så gäller dim(U) = 1 < ∞. Antag att U ≠ [u_{1}]. Tag u_{2} ∈ U så att u_{2} ∉ [u_{1}]. Om U = [u_{1}, u_{2}], så gäller dim(U) = 2 < ∞, annars finns u_{3} ∈ U så att u_{3} ∉ [u_{1}, u_{2}]. Den här processen måste ta slut efter högst n steg, eftersom (u_{1}, u_{2}, u_{3}, …) är en linjärt oberoende delmängd av V, som alltså har högst n element enligt Sats 1.

5. Om U är ett delrum till V och dim(U) = dim(V) < ∞, så gäller U = V.

Tag en bas för U. Den utgör en linjärt oberoende mängd i V och kan alltså utvidgas till en bas för V enligt Sats 3. Eftersom dimensionerna är lika, så kan denna utvidgning inte vara äkta. Alltså är den givna basen för U också en bas för V och därmed gäller U = V.

6. Om för någon vektor v, v = x_{1}v_{1} + … + x_{n}v_{n} för precis en n–tippel (x_{1}, …, x_{n}) så gäller att (v_{1}, …, v_{n}) är linjärt oberoende.

Antag att det finns λ_{1}, …, λ_{n}, inte alla = 0, så att λ_{1}v_{1} + … + λ_{n}v_{n} = ¯0. Då gäller att även v = (x_{1} + λ_{1})v_{1} + … + (x_{n} + λ_{n})v_{n} och (x_{1}, … x_{n}) ≠ (x_{1} + λ_{1}, …, x_{n} + λ_{n}), vilket motsäger antagandet.

Låt nu A = [a_{ik}]_{m×n} vara en m×n–matris. Varje rad i A är alltså en n–tippel, dvs en vektor i R^{n} och varje kolonn i A är en m–tippel, dvs en vektor i R^{m}. En vektor i R^{n} kan vi alltså uppfatta antingen som en radmatris, dvs en 1×n–matris, eller som en kolonnmatris, dvs en n × 1–matris. En nollmatris av godtycklig ordning betecknar vi med 0.

Raderna i A spänner upp ett delrum av R^{n}, som vi kallar för radrummet till A och betecknar radrum (A). På motsvarande sätt definierar vi kolonnrummet till A, kolrum (A), som det delrum av R^{m} som spänns upp av kolonnerna i A. Lösningarna till det homogena linjära ekvationssystemet AX = 0 (där X är en kolonnmatris) utgör ett delrum av R^{n} (se Exempel 1, kapitel 11 i boken) och vi kallar detta nollrummet till A och betecknar det N(A).

Ibland kan det vara praktiskt att ha mer komprimerade beteckningar för raderna, så vi sätter A_{i} = ( a_{i1} a_{i2} … a_{in}), dvs A_{i} får beteckna rad i. Analogt låter vi A^{(k)}

beteckna kolonn k i A, dvs A^{(k)} = ( a_{1k} ; ⋮ ; a_{mk} ). Vi har alltså radrum (A) = [A_{1}, A_{2}, …, A_{m}]

och kolrum (A) = [A^{(1)}, A^{(2)}, …, A^{(n)}]. Dimensionen av radrummet kallas radrangen för A (radrang(A)) och dimensionen av kolonnrummet kallas kolonnrangen för A (kolrang(A)). Enligt påstående 4. ovan har vi radrang(A) ≤ n, eftersom radrum (A) ⊆ R^{n}, men vi har också (enligt påstående 1.) radrang(A) ≤ m, eftersom radrum (A) spänns upp av m stycken vektorer. På samma sätt ser man att kolrang(A) ≤ m och kolrang(A) ≤ n. Senare skall vi visa det märkliga resultatet att radrang och kolonnrang alltid är lika och kalla detta tal kort och gott för rangen för A.

Låt nu X = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) vara en kolonnmatris. Observera att AX = x_{1}A^{(1)} + x_{2}A^{(2)} +

⋯+x_{n}A^{(n)}, dvs AX är den linjärkombination av kolonnerna i A som ges av koefficienterna x_{1}, x_{2}, …, x_{n}. Kolonnrummet [A^{(1)}, A^{(2)}, …, A^{(n)}] är alltså mängden av alla vektorer i R^{m} som kan skrivas AX där vi låter X variera, dvs alla vektorer B, där B är en m × 1–matris, så att ekvationssystemet AX = B har någon lösning.

Att kolonnerna är linjärt oberoende är ekvivalent med att implikationen AX = 0 ⇒ X = 0 gäller, dvs att det homogena systemet AX = 0 bara har den triviala lösningen. Multiplikation till höger med en kolonnmatris resulterar alltså i en linjärkombination av kolonnerna. Analogt ger multiplikation till vänster med en radmatris Y = ( y_{1} y_{2} … y_{m}) en linjärkombination av raderna: Y A = y_{1}A_{1} + y_{2}A_{2} + ⋯ + y_{m}A_{m}, så att radrum (A) är mängden av alla Y A där Y varierar över alla 1 × m–radmatriser. Raderna i A är linjärt oberoende om och endast om implikationen Y A = 0 ⇒ Y = 0 gäller. Naturligtvis gäller också att radrum (A) = kolrum (A^{t}).

Låt oss nu tillämpa påståendena 1.– 6. ovan på fallet att vektorerna är kolonnerna (eller raderna) i en matris. Påstående 1. ger att man alltid kan välja en delmängd av kolonnerna som en bas för kolrum (A) (och analogt för radrummet), men det finns naturligtvis även andra baser. Påstående 2. ger t.ex. att om en kvadratisk n × n–matris uppfyller att kolonnrummet = R^{n}, så gäller att kolonnerna är linjärt oberoende och utgör en bas för R^{n}. Eftersom kolonnrummet består av alla högerled för vilket ekvationssystemet har en lösning, så kan vi också formulera detta så här: Om ett kvadratiskt ekvationssystem har någon lösning för varje högerled, så gäller att det homogena systemet bara har den triviala lösningen och ekvationssystemet har precis en lösning för varje högerled, jfr Sats 3 i kapitel 1. Påstående 3. ger implikationen åt andra hållet i satsen, dvs: Om ett kvadratiskt homogent ekvationssystem bara har den triviala lösningen, så har ekvationssystemet precis en lösning för varje högerled. Vi har därmed bevisat en variant av Sats 3 i kapitel 1. Påstående 6. ger implikationen åt ena hållet som den är formulerad i satsen, nämligen att om ett ekvationssystem har precis en lösning för något högerled, så har motsvarande homogena system bara den triviala lösningen. Påstående 4. har vi använt ovan när vi påpekade att t.ex. radrang(A) ≤ n om A är en m × n–matris. Påstående 5. ger att om en n × n–matris A uppfyller att kolrang(A) = n, så gäller att kolrum (A) = R^{n}, vilket enligt ovan (med hjälp av 2.) ger att kolonnerna bildar en bas för R^{n} och därmed att ekvationssystemet AX = B har entydig lösning för varje B.

Vi är nu mogna att visa följande sats för kvadratiska matriser (som sammanfattar Sats 6 och 7 i kapitel 2.4 i boken). E betecknar enhetsmatrisen.

Sats. Låt A vara en n × n–matris. Då är följande villkor ekvivalenta:

(i) radrang(A) = n.

(ii) kolrang(A) = n.

(iii) Det finns en matris C sådan att CA = E, dvs A har en vänsterinvers.

(iv) Det finns en matris B sådan att AB = E, dvs A har en högerinvers.

(v) A är inverterbar.

Bevis. Vi ger först ett bevis som använder sig av Sats 6–8 i kapitel 2.4. Antag att (ii) gäller. Då har (enligt ovan) ekvationssystemet AX = B entydig lösning för varje B och Sats 6 ger att A är inverterbar, dvs (v) gäller. Antag att (v) gäller. Då har AX = B entydig lösning för varje B enligt kalkylen i boken som föregår Sats 6. Alltså gäller (enligt ovan) att kolonnerna i A bildar en bas för R^{n} och därför gäller (ii). Antag nu att (i) gäller. Då gäller kolrang(A^{t}) = n och därmed, enligt vad vi just har visat, att A^{t} är inverterbar. Sats 8 ger att (v) gäller. Omvänt, om (v) gäller, så ger Sats 8 att A^{t} är inverterbar och därmed, enligt vad vi har visat, att kolrang(A^{t}) = n, dvs radrang(A) = n. Vi har därmed visat (ii) ⇔ (v) ⇔ (i). Men Sats 7 ger att (iii) ⇔ (v) och (iv) ⇔ (v).

Vi skall nu ge ett direkt bevis som inte använder sig av satser i boken. Vi lägger upp beviset på följande vis: (ii)⇒(iv)⇒(i)⇒(iii)⇒(ii) och (iii)&(iv)⇔ (v).

(ii)⇒(iv). Antag att kolrang(A) = n. Det betyder (enligt påstående 5. och 2.) att kolonnerna A^{(1)}, A^{(2)}, …, A^{(n)} i A bildar en bas i R^{n}. Varje vektor i R^{n} är alltså en linjärkombination av A^{(1)}, A^{(2)}, …, A^{(n)}, dvs kan skrivas AX där X är en lämplig kolonnmatris. Utnyttja nu detta för ”enhetskolonnerna” e_{1}, e_{2}, …, e_{n} i R^{n} och låt oss säga att motsvarande kolonnmatriser är B^{(1)}, B^{(2)}, …, B^{(n)}. Vi har alltså att AB^{(1)} = e_{1}, AB^{(2)} = e_{2}, …, AB^{(n)} = e_{n}. Skriver vi B^{(1)}, B^{(2)}, …, B^{(n)} efter varandra får vi en n × n–matris B = (B^{(1)}, B^{(2)}, …, B^{(n)}) med egenskapen att AB = (e_{1}, e_{2}, …, e_{n}), dvs AB = E. Därmed är (ii)⇒(iv) visad. (iv)⇒(i). Antag nu att AB = E. Vi skall visa att radrang(A) = n. Enligt påstående 3. ovan räcker det att visa att raderna A_{1}, A_{2}, …, A_{n} är linjärt oberoende. Antag därför att en linjärkombination är 0, säg Y A = 0. Vi skall visa att alla koefficienterna i linjärkombinationen är 0, dvs att Y = 0. Men det är bara att multiplicera Y A = 0 till höger med B och utnyttja att AB = E. Vi får (Y A)B = 0 · B = 0, vilket ger Y = Y E = Y (AB) = (Y A)B = 0 och alltså Y = 0. (i)⇒(iii). Följer (med hjälp av Sats 5 i 2.4) av (ii)⇒(iv) tillämpad på A^{t}. (iii)⇒(ii). Följer (med hjälp av Sats 5 i 2.4) av (iv)⇒(i) tillämpad på A^{t}. (v)⇒(iii)&(iv). Följer av definitionen på inverterbarhet. (iii)&(iv)⇒(v). Antag att CA = AB = E. Då följer att C = CE = C(AB) = (CA)B = EB = B och därmed är A inverterbar.

Vi ser alltså att för kvadratiska n × n–matriser är det ekvivalent att radrangen är maximal (= n) och att kolonnrangen är maximal. Sådana matriser kallar vi fullrangsmatriser och det är alltså samma sak som inverterbara matriser. (Begreppet fullrangsmatris används också för icke-kvadratiska m × n–matriser och betyder att rang(A) = min(m, n).) Vi skall senare tillfoga ett sjätte ekvivalent villkor på A, nämligen att determinanten ≠ 0. (Jfr satserna 17 i kapitel 5 och 15 i kapitel 14.)

Christian Gottlieb, hösten -95 och Clas Löfwall hösten -01.