MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET

Avd. Matematik Examinator: Jörgen Backelin Tentamensskrivning i Matematisk analys 1, gk, 5p tisdagen den 21 mars 2006

kl. 09^{00}–14^{00}

Inga hjälpmedel (utöver normala skrivdon). 13 poäng inklusive bonus garanterar godkänt. Motivera samtliga lösningar noga. Om l’Hospitals regel eller Taylors formel används, så måste dessa bevisas.

1. Lös ekvationen arcsin 3x = arctan 5x. 4 p

2. Beräkna följande gränsvärden

a) lim_{x→0} \frac{sin(e^{2x} − 1)}{x}.  2 p
b) lim_{x→ \frac{π}{2}} (\frac{π}{2} − x) tan x.  2 p

3. Undersök lokala och globala extremvärden, asymptoter, monotonitetsegenskaper och konvexitetsegenskaper hos kurvan y = f(x), där

f(x) = \frac{x^{2} − x + 3}{x + 2} .

Skissera kurvan. 4 p

4. a) Bestäm alla primitiva funktioner till x cos x cos 2x.  2 p
b) Bestäm derivatan till arctan(sin x + cos x).  2 p

5. Bestäm en primitiv funktion till \frac{1 − ln(ln x)}{x(ln x)^{2}} , och beräkna den generaliserade integralen

∫_{e}^{∞} \frac{1 − ln(ln x)}{x(ln x)^{2}} dx. 4 p

6. Låt f(x) = \frac{e^{x}}{1 + x^{2}} för varje reellt tal x.

a)

Undersök om funktionen f har några stationära punkter, och ange i så fall för var och en av dessa om den är ett lokalt maximum, ett lokalt minimum eller en terrasspunkt. 1 p

b) Visa att f är inverterbar, och beräkna definitionsmängden och värdemängden för f^{−1}.  2 p

c)

Ange (med en ordentlig motivering) för vilka x i definitionsmängden till f^{−1} som f^{−1} är deriverbar. 2 p

Skrivningsåterlämning torsdagen 30/3 kl. 12^{20}–12^{40} i sal 15; därefter hos Tom Wollecki.)