Lektionsomgång 1, Analys 1, VT 2006

1. Lös ekvationen arctan(x + 1) + arctan(x − 1) = \frac{π}{4} .

2. Lös ekvationen arccos x = 2 arcsin x.

3. Beräkna inversen till f(x) = e\sqrt{x} + 1, 0 ≤ x. Ange även D_{f^{−1}} och V_{f^{−1}}.

4. Beräkna inversen till f(x) = arctan(x^{2} + 1), x ≤ 0. Ange även D_{f^{−1}} och V_{f^{−1}}.

5. Följden a_{1}, a_{2}, a_{3},... definieras genom

\{ \begin{matrix}a_{1} = 0 \\ a_{2} = 1 \\ a_{n} = \frac{3}{2}a_{n−1} − a_{n−2} & för n ≥ 3 \end{matrix} .

a) Beräkna de 5 följande talen i följden, och gissa ett uttryck på sluten form.

b)

Visa att (om din gissning stämmer!) så är följden konvergent, och ange vad den konvergerar mot.